PARTICULARIZACIÓN (Cualitativa y Cuantitativa)

“De lo general a lo particular” (Bourbaki)

“Si lo particular tiene un significado, ha de ser universal” (Platón)

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Semántica y Sintaxis

Especifica una expresión y relativa a otra expresión x, es decir, que y particulariza a la expresión x. Existen dos tipos de particularizaciones:

1. Particularización cualitativa: x/y
   
   Si la expresión y es operativa e y afecta a x, entonces x se evalúa de acuerdo con y e y desaparece (se dice que x “se resuelve”). Si la expresión y es descriptiva o no afecta a x, entonces x aparece en el resultado (“no se resuelve”).
   
   
2. Particularización cuantitativa (o posicional): x\n (selección del componente n de la secuencia x)
   
   En una secuencia x, x\1 es el primer componente, x\2 el segundo, etc.
   
   Si el componente n de x (x\n) no existe, se evalúa como la expresión nula (θ).
   
   Si x es un conjunto o una expresión abierta, x\n se autoevalúa.

Justificación

La particularización es un mecanismo útil para especificar propiedades extrínsecas (atributos o cualidades), para seleccionar componentes de las expresiones y para realizar evaluaciones parciales.


Observaciones

• La forma x/y se denomina expresión o especificación relativa, en donde x se denomina expresión primaria (o absoluta), e y expresión secundaria (o relativa).
  
  
• La particularización puede ser de orden superior: x/y es la particularización y de x, x/(y/z) es la particularización y/z de x, etc.
  
  
• x/y/z se interpreta con asociatividad a la izquierda, es decir, y es una expresión relativa a x y z/ es una expresión relativa a x/y. Por lo tanto,
  
  ( x/y/z ≡ (x/y)/z )
  
  
• Diferencia entre x/n y x\n. En el primer caso, estamos especificando un atributo de número. En el segundo, estamos seleccionando el componente n de x. Por ejemplo:
  
  
  1. x/1 // es el equivalente matemático a x1
     
     
  2. (s = (a b c d))
s\3 // ev. c (selecciona el tercer elemento de la secuencia s)

Las tres formas de particularización cualitativa

Existen básicamente tres formas: entidad/atributo, entidad/valor y entidad/(atributo/valor).

La primera forma está orientada a la definición de propiedades (asociados al verbo “ser”). Ejemplos:

• Sócrates/hombre // Sócrates es hombre
  
  
• Goya/pintor // Goya es pintor

Ejemplos de la segunda forma:

• (3*x + 2*y + 1)/(x=4) // ev. (12 + 2*y + 1) ev. (13 + 2*y)
  Particulariza una expresión.
  
  
• x/3
  Es equivalente a x₃, una variable con subíndice.

La tercera forma está orientada a la definición de atributos (asociados al verbo “tener”). Ejemplos:

• mesa/(color/blanco)
  Especifica que el color de la mesa es blanco.
  
  
• mesa/(color/verde altura/0.9) // mesa tiene color verde y altura 0.9

Otros ejemplos de expresiones cualitativas

Expresiones secundarias operativas:

• (x+y)/(x=2) // ev. 2+y (evaluación parcial)
  
  
• (a b c)/(a=1 b=2) // ev. (1 2 c) (id.)
  
  
• ((x+y+z)/(y=x))/(x=z) // ev. (x+x+z)/(x=z) ev. (z+z+z) ev. 3*z

Expresiones secundarias descriptivas (sustitución potencial):

• (x y x y x)/(x =: a+b) // rep. (a+b y a+b y a+b)
  
  
• (x y x y)/(x =: 111 y =:222) // rep. (111 222 111 222)

Expresiones genéricas:

• ( z = ⟨(f(x y) = (x+y+a x*y*b))⟩ )

z/(a=1 b=2) // ev. (⟨(f(x y) = (x+y+1 x*y*2))⟩
  
  La expresión primaria es genérica y le afecta la expresión secundaria.
  
  
• (f(1 2) a b f(1 3))/(⟨(f(x y) = x+y)⟩ // ev. (3 a b 4)
  
  La expresión secundaria es genérica y operativa , y afecta a la expresión primaria. Es, paradójicamente, la “particularización generalizada”.

Ejemplos de particularización cuantitativa (o posicional)

1. (s = (a b c)) // secuencia
s\1 // ev. a
s\2 // ev. b
s\3 // ev. c
s\4 // ev. θ
   
   
2. (s = (ab (c de))) // secuencia de tres niveles
s\1 // ev. ab
(s\1)\1 // ev. a
(s\1)\2 // ev. b
s\2 // ev. (c de)
(s\2)\2 // ev. de
((s\2)\2)\2 // ev. e
   
   
3. (s = {a b c}) // conjunto
s\2 // se autoevalúa
   
   
4. (s = (123 456)
s\1 // ev. 123
s\2 // ev. 456
s\1\2 // ev. 2
s\2\2 // ev. 5
   
   
5. (s = ( 123 ) // secuencia holgada (secuencia con blanco inicial y final)
s\1 // ev. 123
s\1\2 // ev. 2

Axiomas

1. ⟨(x/θ = x)⟩
   La particularización nula deja inalterable la expresión.
   
   
2. ⟨(θ/x = θ)⟩
   La particularización de la expresión nula produce la misma expresión nula (la expresión nula no admite ulterior particularización)
   
   
3. ( x/y/z ≡ (x/y)/z ) Asociatividad a la izquierda.
   
   
4. ⟨(x/(x=y) = y)⟩ Sustitución completa.
   Ejemplo:
   (3*a + b)/((3*a + b)=4) // ev. 4
   
   
5. ⟨( x/(x=y)/(y=z) = z )⟩
   Transitividad de sustituciones.
   Ejemplo:
   a/(a=b)/(b=c) // ev. c
   
   
6. ⟨( x/y → y/z) → x/z )⟩ Transitividad lógica.
   Ejemplo:
   Si Goya/pintor y pintor/artista, entonces Goya/artista.